Tßτλος του μαθÞματος | Μη-γραμμικÜ φαινüμενα στη ΦυσικÞ
Κωδικüς αριθμüς μαθÞματος | ΕLTP19
Τýπος του μαθÞματος | ΕπιλογÞς
Επßπεδο του μαθÞματος | Μεταπτυχιακü (ΜΔΕ)
¸τος σπουδþν |
ΕξÜμηνο |
ΠιστωτικÝς μονÜδες ECTS | 7
¼νομα του διδÜσκοντος/των διδασκüντων | ΧρÞστος Ευθυμιüπουλος
Επιδιωκüμενα μαθησιακÜ αποτελÝσματα του μαθÞματος | Στο τÝλος αυτοý του μαθÞματος ο φοιτητÞς θα μπορεß να 1. Κατανοεß τις βασικÝς αναλυτικÝς και αριθμητικÝς μεθüδους μελÝτης των μη-γραμμικþν φαινομÝνων στην κλασσικÞ και στην κβαντικÞ φυσικÞ. 2. Διαχειρßζεται μεθüδους της θεωρßας διαταραχþν για τη μελÝτη της δομÞς του χþρου φÜσεων (ýπαρξη συντονισμþν - τοπικþν ολοκληρωμÜτων, επικÜλυψη συντονισμþν) 3. Κατανοεß την Ýννοια του χÜους και τη σημασßα του για τη χρονικÞ εξÝλιξη και τη στατιστικÞ συμπεριφορÜ μη-γραμμικþν συστημÜτων 4. Παρακολουθεß συγκεκριμÝνα παραδεßγματα εφαρμογÞς των μη-γραμμικþν δυναμικþν συστημÜτων σε διÜφορες περιοχÝς της ΦυσικÞς (ατομικÞ ΦυσικÞ - δομÞ της ýλης - ΦυσικÞ των συνεχþν μÝσων - θεωρßα πεδßων - ΟυρÜνιος μηχανικÞ - Σχετικüτητα - Κοσμολογßα)
Δεξιüτητες | Στο τÝλος αυτοý του μαθÞματος ο φοιτητÞς θα Ýχει περαιτÝρω αναπτýξει τις ακüλουθες δεξιüτητες 1. Ικανüτητα να αναπτýσσει προγρÜμματα συμβολικÞς Üλγεβρας (π.χ. σε Mathematica Þ Matlab) με σκοπü την εφαρμογÞ αναλυτικþν μεθüδων üπως περιγρÜφεται ανωτÝρω 2. Ικανüτητα να γρÜφει προγρÜμματα αριθμητικþν υπολογισμþν με χρÞση βασικÞς γλþσσας (π.χ. Fortran Þ C) για την επßλυση κυρßως του προβλÞματος αρχικþν τιμþν ενüς συνüλου μη-γραμμικþν διαφορικþν εξισþσεων.
ΠροαπαιτÞσεις | Δεν υπÜρχουν προαπαιτοýμενα μαθÞματα. Οι φοιτητÝς πρÝπει να Ýχουν τουλÜχιστον βασικÞ γνþση ΜηχανικÞς, Διαφορικþν Εξισþσεων και ΚβαντομηχανικÞς
Περιεχüμενα (ýλη) του μαθÞματος | 1. ΓενικÞ θεωρßα: γραμμικÜ δυναμικÜ συστÞματα 1.1 Κρßσιμα σημεßα 1.2 Εßδη ευστÜθειας 1.3 Τοπικü φασικü διÜγραμμα 1.4 Θεωρßα διακλαδþσεων 1.5 Σýνδεση φασικþν πορτραßτων 2. ΕισαγωγÞ στο Χαμιλτονιανü ΧÜος 2.1 Το πρüτυπο του εκκρεμοýς με εξωτερικÞ διÝγερση 2.2 Θεωρßα διαταραχþν 2.3 Αναλλοßωτες πολλαπλüτητες και ομοκλινικü χÜος 2.4 ΠÝταλο Smale 2.5 Αριθμüς Lyapunov 3. ΚανονικÞ θεωρßα διαταραχþν 3.1 ΣειρÝς Lindstedt 3.2 ΜεταβλητÝς γωνßας - δρÜσης 3.3 Κανονικοß μετασχηματισμοß - γεννÞτριες συναρτÞσεις Lie 3.4 ΚανονικÞ μορφÞ Birkhoff - ΠροσεγγιστικÜ ολοκληρþματα 3.5 ΚανονικÝς μορφÝς σε περιοχÝς συντονισμοý - επικÜλυψη συντονισμþν 3.6 Θεωρßα Kolmogorov - Arnold - Moser 3.7 ΣυστÞματα πολλþν βαθμþν ελευθερßας 3.8 ΔιÜχυση Arnold - ΕυστÜθεια Nekhoroshev 4. ΚβαντικÜ δυναμικÜ συστÞματα 4.1 ΚβαντικÞ θεωρßα διαταραχþν - δαταραγμÝνοι τελεστÝς δημιουργßας - καταστροφÞς 4.2 ΠροσεγγιστικÝς "σýμφωνες" καταστÜσεις (coherent states) 4.3 ΚατανομÝς ενεργειακþν διαφορþν Poisson και Wigner 4.4 ΣυναρτÞσεις Wigner - Husimi 4.5 Θεωρßα de Broglie - Bohm 5. ΧÜος σε συστÞματα με απþλειες 5.1 ΛογιστικÞ απεικüνιση - σταθερÝς Feigenbaum 5.2 Μη-γραμμικÞ δυναμικÞ ρευστþν 5.3 Διαλειπτüτητα - τßρβη 6. Σολιτüνια 6.1 Εξßσωση Korteweg - de Vries 6.2 Το πρüβλημα των Fermi - Pasta - Ulam 6.3 Εξßσωση Sine - Gordon 6.4 Μη-γραμμικÞ εξßσωση Schrodinger 6.5 Συμπυκνþματα Bose - Einstein 7. ΕφαρμογÝς 7.1 ΟυρÜνιος ΜηχανικÞ - ΓαλαξιακÞ δυναμικÞ 7.2 Κοσμολογßα βαθμωτοý πεδßου 7.3 ΦυσικÞ πλÜσματος και επιταγχυντþν 7.4 Μη-γραμμικÞ οπτικÞ 7.5 Μονüπολα στην θεωρßα πεδßων 7.6 ΧÜος στη ΓενικÞ Θεωρßα της Σχετικüτητας
Συνιστþμενη βιβλιογραφßα προς μελÝτη | 1. «ΤÜξη και ΧÜος στα μη-γραμμικÜ δυναμικÜ συστÞματα: Τüμοι Ι και ΙΙ », Τ. Μποýντης και Σ. Πνευματικüς , Εκδüσεις Πνευματικüς, ΑθÞνα, 1988-1989. 2. «Order and Chaos in Dynamical Astronomy: 2nd Edition», G. Contopoulos, Springer, 2004. 3. «Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields», J. Guckenheimer and P.J. Holmes. Lect. Notes Math. 898, Springer-Verlag, 1983. 4. «Chaos in Classical and Quantum Mechanics», M. Gutzwiller, Springer-Verlag, New York, 1990. 5. «Regular and Chaotic Dynamics», Α.J. Lichtenberg and M.A. Lieberman, Springer-Verlag, New York, 1992. 6. «Hamiltonian Systems. Chaos and Quantization», A. Ozorio de Almeida. Cambridge University Press. Cambridge. 1988. 7. «Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos», S. Wiggins, Springer-Verlag, New York, 1989.
ΔιδακτικÝς και μαθησιακÝς μÝθοδοι | Παραδüσεις στον πßνακα και σε powerpoint, υποδειγματικÞ επßλυση προβλημÜτων, επßλυση ασκÞσεων απü τους φοιτητÝς
ΜÝθοδοι αξιολüγησης/βαθμολüγησης | 1) Εργασßα (40% του τελικοý βαθμοý). Σε συνεννüηση με τον κÜθε φοιτητÞ επιλÝγεται Ýνα paper της βιβλιογραφßας σε περιοχÞ που να εντÜσσεται στα ευρýτερα γνωστικÜ ενδιαφÝροντα του φοιτητÞ. Ζητεßται ι) η αναπαραγωγÞ των κυριüτερων αναλυτικþν και αριθμητικþν αποτελεσμÜτων του paper, και ιι) μια απλÞ επÝκταση που οδηγεß σε νÝα αποτελÝσματα. 2) ΓραπτÞ εξÝταση (60% του τελικοý βαθμοý)
Γλþσσα διδασκαλßας | ΕλληνικÜ. Mποροýν üμως να γßνουν οι παραδüσεις στην αγγλικÞ γλþσσα στην περßπτωση που αλλοδαποß φοιτητÝς παρακολουθοýν το πρüγραμμα.